Линейчатые поверхности: развертывающиеся, косые

Цилиндрическая поверхность (рисунок 89) образована движением прямой образующей по кривой направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению.

• Рисунок 89 Рисунок 90
• Если направляющая – ломаная линия, то поверхность будет гранной (частный случай такой поверхности будет призма) (рисунок 90).
• Коническая поверхность (рисунок 91) образована перемещением прямой образующей по кривой направляющей, причем образующая в любом положении проходит через одну точку – вершину.

Рисунок 91 Рисунок 92

Поверхность с ребром возврата (рисунок 92) образуется перемещением прямой образующей таким образом, что образующая во всех положениях остается касательной к кривой направляющей.

Эта кривая называется ребром возврата (Е-1-2-3-4-5-F).Такая поверхность является развертываемой, так как смежные прямолинейные образующие лежат в одной плоскости.

Если принять за ребро возврата плоскую кривую линию, то поверхность превратится в плоскость.

Рисунок 93 Рисунок 94

Любая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пересекает цилиндроид (рисунок 93) и коноид (рисунок 94) по прямой линии.

Следовательно, чтобы построить образующую цилиндроида или коноида, необходимо провести плоскость, параллельную плоскости параллелизма, найти точки пересечения этой плоскости с направляющими линиями и полученные точки соединить. Полученная прямая и будет образующей цилиндроида или коноида.

Нелинейчатые поверхности

Нелинейчатые поверхности – поверхности, образованные в результате перемещения кривой линии (образующей) по другой кривой (направляющей) с определенной закономерностью или произвольно. Нелинейчатые поверхности являются неразвертываемыми. К ним относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, двуполостный гиперболоид, циклические поверхности и др.

Поверхности вращения

В результате перемещения какой – либо образующей (прямолинейной или криволинейной) вокруг неподвижной оси образуется поверхность вращения. Это линейчатые поверхности прямого кругового цилиндра и конуса (рисунки 89-91). Криволинейные поверхности вращения (поверхности общего вида) образуются вращением произвольной криволинейной образующей вокруг вертикальной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность. Примерами таких поверхностей могут служить сфера, тор и др.

Рисунок 95

Плоскости, перпендикулярные к оси поверхности, пересекают поверхность по окружностям, которые называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом называют экватор, с наименьшим радиусом – горло. Секущие плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают эту поверхность вращения по линиям, которые называются меридианами (рисунок 95).

Рисунок 96

Сфера – поверхность, образованная вращением окружности вокруг своего диаметра (рисунок 96). На чертеже сфера изображается на всех плоскостях проекций окружностью одного и того же радиуса.

Тор — поверхность, которая образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и пересекает, но не проходит через ее центр (рисунок 97). Если ось вращения не пересекает окружность, тор называется открытым или круговым (рисунок 97), а если пересекает – закрытым .

Рисунок 97

Точка на поверхности

Точка находится на поверхности, если она принадлежит какой – либо линии, расположенной на данной поверхности. На практике чаще всего приходится определять положение одной точки или их множества на поверхности конкретных геометрических тел.

Геометрические тела делятся на две группы. К первой группе относятся многогранники, ко второй поверхности вращения. На рисунке 98 дан чертеж призмы и фронтальная проекция точки Е (Е2), лежащей на поверхности призмы. Требуется найти горизонтальную проекцию точки (Е1), если она лежит на видимой грани призмы

На основании условия принадлежности точки поверхности, через точку Е в грани А2А/2 В2В/2 проходит прямая 121/2 параллельная ребрам призмы.

Горизонтальные проекции точек 11 и 1/1 определяются по принадлежности их отрезкам нижнего АВ и верхнего А/ В/ оснований призмы. Проекция точки Е1 будет находиться на проекции прямой 111/1.

На рисунке 99 задана горизонтальная проекция точки М, лежащей на поверхности трехгранной пирамиды. Требуется определить ее фронтальную проекцию.

Рисунок 98 Рисунок 99

Как и в предыдущей задаче, с учетом видимости граней пирамиды и точки М, находим недостающую фронтальную проекцию точки М2, используя, в качестве вспомогательной, прямую S1, проведенную на грани АСS.

На рисунке 100 показаны точки А и В на поверхности конуса, а на рисунке 101 –точки А и В на поверхности сферы. Заданы фронтальная проекция А2 и горизонтальная проекция В1, принадлежащих поверхностям конуса и сферы. Требуется найти их недостающие проекции, при условии, что точка А находится на обращенной к наблюдателю поверхности сферы , точка В – на невидимой.

На рисунке 100 горизонтальная проекция точки А1 определена введением образующей конуса через точку А, а горизонтальная проекция точки В с помощью параллели радиуса R2, полученной от рассечения конуса плоскостью Р (Р2).

Рисунок 100 Рисунок 101

Так как сферическая поверхность образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров, то любая ее точка при вращении описывает окружность соответствующего радиуса.

Если плоскость этой окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на нее без искажения.

Через точку А на поверхности сферы нужно провести окружность радиуса R1, которая проецируется на плоскости П2 в виде прямой, а на плоскость П1- в виде окружности. Горизонтальная проекция А1 будет находиться на этой окружности.

Аналогично строится фронтальная проекция В2, но с учетом невидимости, на окружности радиуса R2 ближе к плоскости П1 (дальше от наблюдателя).

Построения точек А и В на поверхности конуса понятно из рисунка 100.



Источник: https://infopedia.su/17xa856.html

Кривые поверхности

12.Кривые поверхности. Образование, способы задания на чертеже. Определитель, очерк поверхности. Основные типы поверхностей. Принадлежность точки и линии поверхности.

• Образование поверхности
• Поверхность образуется перемещением линии в пространстве по определенному закону.
• Линия, производящая поверхность, называется образующей.
• Образующая при движении может пересекать одну или несколько неподвижных линий, называемых направляющими.
• Способы задания поверхностей:
• • аналитический – при помощи уравнений;
• • при помощи каркаса – множеством линий, принадлежащих поверхности;
• • кинематический – перемещением линии в пространстве.
• Определитель поверхности – совокупность условий, однозначно задающих поверхность.
• Φ (Г) [А]

• Геометрическая часть состоит из совокупности геометрических фигур (точек, линий, плоскостей и т. п.), участвующих в образовании поверхности.

1. • Алгоритмическая часть (описательная) содержит сведения о характере изменения
2. образующей и законе ее перемещения.
3. Очерк поверхности – проекция видимого контура поверхности на рассматриваемую плоскость проекций.
4. Принадлежность точки поверхности
5. Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.
6. Принадлежность линии поверхности
7. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности.
8. Основные типы поверхностей:
9. •  гранные (образующая – прямая, направляющая – ломаная линия);
10. •  кривые (кривыми называются поверхности с криволинейной направляющей);
11. •  линейчатые поверхности (линейчатыми называются поверхности, образуемые движением прямолинейной образующей):
12. — развертывающиеся поверхности;
13. — неразвертывающиеся (косые) поверхности.

13.Поверхности вращения. Однополостный гиперболоид вращения. Образование и изображение на чертеже.

• Поверхности вращения
• Образуются вращением образующей – плоской или пространственной кривой линии или прямой вокруг неподвижной оси.
• Линейчатые поверхности вращения
• Образуются вращением образующей – прямой линии вокруг неподвижной оси.
• Например:
• Ø  цилиндрическая поверхность вращения (образующая – прямая, параллельная оси вращения);
• Ø  коническая поверхность вращения (образующая – прямая, пересекающая ось вращения);
• Ø  однополостный гиперболоид вращения (образующая – прямая, скрещивающаяся с осью вращения);
• Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка
• • вокруг своей оси;
• • вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости.
• Например:
• Ø  тор — образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр;
• Ø  сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра;
• Ø  эллипсоид вращения – образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси;
• Ø  параболоид вращения – образуется вращением параболы вокруг её оси;
• Ø  гиперболоид вращения:
• — однополостный – образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси;
• — двуполостный – образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси;

14.Развертывающиеся линейчатые поверхности. Поверхности с ребром возврата. Образование и изображение на чертеже.

1. Развертывающиеся линейчатые поверхности.
2. Поверхность называется развертывающейся, если она может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов.
3. К развертывающимся относятся поверхности с ребром возврата (торсовые поверхности).
4. Ребром возврата называется пространственная кривая линия, которой касается прямолинейная образующая в каждом своем положении.
5. Например: торс, коническая поверхность, цилиндрическая поверхность.
6. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности
7. В общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям.
8. Например:
9. Ø  косой цилиндр с тремя направляющими (направляющие – кривые линии);
10. Ø  дважды косой цилиндроид (две направляющих – кривые, а третья – прямая);
11. Ø  дважды косой коноид (одна направляющая – кривая, две другие – прямые);
12. Ø  однополостной гиперболоид (направляющие – скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости).

15.Винтовые поверхности. Прямой и наклонный геликоид. Образование и изображение. Применение в технике.

• Винтовые поверхности
• Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом.
• Прямой геликоид (винтовой коноид)
• Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и её оси, к которой образующая перпендикулярна.
• Наклонный геликоид
• Образуется движением прямолинейной образующей по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и ее оси, с которой образующая составляет постоянный угол, отличный от прямого.

16. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболический параболоид. Образование, изображение и применение в технике.

1. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) – поверхности с двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, относительно которой образующая во всех положениях остается параллельной.
2. Например:
3. Ø  прямой цилиндроид (направляющие – пространственные кривые линии);
4. Ø  прямой коноид (одна направляющая – прямая, вторая – пространственная кривая линия);
5. Ø  косая плоскость (гиперболический параболоид) (направляющие – скрещивающиеся прямые);

В сечении соответствующими плоскостями можно получить параболы и гиперболы. Косая плоскость может быть получена также путем плоскопараллельного перемещения одной из парабол, как образующей, по второй параболе, как направляющей.

17. Многогранники. Образование гранных поверхностей. Видимость ребер. Пересечение призм и пирамид плоскостью.

• Многогранник – замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками.
• Гранные поверхности – образующая – прямая, направляющая – ломаная линия.
• У пирамидальной поверхности образующие пересекаются в собственной точке, а у призматической поверхности в несобственной точке.

18. Циклические поверхности.

1. Циклическая поверхность
2. Образуется окружностью, центр которой перемещается по криволинейной направляющей, а радиус окружности монотонно меняется.
3. Трубчатая поверхность – нелинейчатая поверхность с образующей постоянного вида, частный случай циклической и каналовой поверхностей.

19. Пересечение кривой поверхности плоскостью. Общий метод решения задачи. Конические, цилиндрические и сферические сечения.

• Пересечение поверхности плоскостью
• При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением(плоская кривая).
• Конические сечения
• Сечение конуса вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.
• Сечение конуса вращения плоскостью, не параллельной ни одной из его образующих, – эллипс.
• Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной одной его образующей, – парабола.
• Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной двум его образующим( в частном
• случае – параллельной его оси), – гипербола.
• Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, – две пересекающиеся
• прямые (образующие).
• Сечения цилиндра
• Сечение цилиндра вращения плоскостью, перпендикулярной его оси, – окружность.
• Сечение цилиндра вращения плоскостью, не параллельной ни одной его образующей,
• – эллипс.
• Сечение цилиндра вращения плоскостью, параллельной его оси, – две параллельные
• прямые (образующие).
• Сечение сферы
• Сечение сферы – окружность.
• Сечение сферы проецируется в виде окружности, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций.
• Сечение сферы проецируется в виде эллипса, если секущая плоскость наклонна к плоскости проекций.

20. Пересечение прямой линии с поверхностью. Общий метод решения задачи. Построение точек пересечения прямой с гранной и кривой поверхностью.

21. Взаимное пересечение кривых поверхностей. Общий метод решения задачи. Применение плоскостей общего положения и плоскостей уровня.

1. Построение линии пересечения двух поверхностей
2. Линия пересечения – в общем случае пространственная кривая линия.
3. Способ секущих плоскостей.
4. 

Источник: http://matematiku5.ru/uchebnye-materialy-po-matematike/krivye-poverxnosti

Метод аппроксимации сложных поверхностей развертывающимися поверхностями

АННОТАЦИЯ

В данной научной работе рассмотрены вопросы, связанные с применением метода аппроксимации поверхностей сложной геометрической природы линейчатыми развертывающимися поверхностями. Приведены примеры моделирования поверхности.

Обоснована актуальность моделирования поверхностей в настоящее время.

В статье отражено, что аппроксимация линейчатых поверхностей представляет собой важную техническую задачу и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий в народном хозяйстве.

ABSTRACT

In this scientific work the questions connected with application of a method of approximation of surfaces of the difficult geometrical nature the line developed surfaces are considered. Examples of modeling of a surface are given.

Relevance of modeling of surfaces is proved now. In article it is reflected that approximation of line surfaces represents an important technical task and has great practical value when designing various products in the national economy.

Аппроксимация (моделирование)  поверхностей – это способ, при котором достигается приближенная замена каких-либо исходных сложных геометрических образов более простыми и технологичными, легко описываемыми.

В настоящее время моделирование поверхности представляет значительный практический интерес и применяется в различных отраслях человеческой деятельности. Поверхность может быть задана различным, и часто достаточно сложным для данной задачи моделирования образом.

Можно, например, аппроксимировать сложную поверхность кусочно-линейной поверхностью второго порядка, простейшими поверхностями вращения или развертывающимися поверхностями.

В данном случае аппроксимация сложных поверхностей развертывающимися поверхностями является наиболее интересной.

Так как развертывающиеся поверхности в геометрии  наиболее хорошо изучены, и при этом обладают еще набором свойств, широко используемых на практике при конструировании.

Важным из этих свойств можно назвать способность развертываться на плоскость, что имеет большое практическое значение при конструировании различных деталей, а также постоянство касательной плоскости вдоль всей образующей, что очень значимо при упрощении технологического процесса при изготовлении изделия с  развертывающейся поверхностью. Поверхность детали в таком случае можно обрабатывать в прямолинейном направлении, вдоль всей образующей. Вследствие этого технология обработки такого изделия  значительно упрощается.

Применение этого вида моделирования  в различных областях техники является наиболее очевидным, и, таким образом,  именно поэтому заслуживает особый интерес и требует теоретических исследований этой проблемы. И хотя этот вопрос несколько освещен ранее в литературе, но все же требует дальнейшего более детального рассмотрения.

Данная статья призвана рассмотреть общий подход к решению вопроса аппроксимации сложных поверхностей развертывающимися, а также приводятся к рассмотрению частные случаи.

Известно, что положение плоскости в пространстве определяется тремя параметрами, два из которых зафиксируем. Третий параметр предполагается менять по некоторому закону. Допустим, этот третий параметр является функцией некоторой величины p:f(p).

Присваивая величине p  значения от –¥ до +¥, мы в результате приходим к бесконечному множеству значений третьего параметра, которые вместе с двумя первыми неизменными параметрами определят бесконечное множество плоскостей, называемых однопараметрическим семейством плоскостей  [2, с.

7].

Известно, что поверхность линейчатая или совокупность прямых, зависящая от одного параметра можно описать движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Линейчатые поверхности подразделяются на развёртывающиеся и косые.

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов всеми ее точками. При этом любая развёртывающаяся поверхность является или цилиндром, или конусом, или поверхностью, состоящей из касательных к некоторой пространственной кривой [3, с. 25].

Такую кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности  (рис. 1). Плоскость P, пересекающая ребро возврата L, образует в сечении с поверхностью некоторую кривую ABC с точкой возврата В. В этом случае, ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости S1 и S2 соприкасаются друг с другом.

Рисунок 1. Развертывающаяся линейчатая поверхность

Отметим, что развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей постоянна.

Следовательно, совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся линейчатой поверхностью представляет собой однопараметрическое семейство.

Другими словами, развёртывающаяся линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

Можно  привести  следующие примеры огибающих.

Если определить некоторую плоскость тремя параметрами: точкой  А  на взятой кривой линии L, касательной  Р  к ней в данной точке, и точкой  В, не лежащей на этой линии L, Начнем перемещать точку А  по заданной кривой. В результате перемещения, получим, соответственно, однопараметрическое семейство плоскостей, огибающей которого будет некая коническая поверхность с вершиной в точке  S  и направляющей L.

В случае,  если точку S  удалить в бесконечность, то все плоскости такого семейства будут перпендикулярны некоторой плоскости b, не принадлежащей этому семейству. В результате выполненных действий, огибающей нового семейства плоскостей уже будет цилиндрическая поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости b, и направляющей для которой будет кривая L.

Необходимо обратить внимание, что в зависимости от формы и взаимоположения  исследуемой пары направляющих, они могут определить как одну, так и несколько развертывающихся поверхностей.

Как правило, исключительным образом определяют развертывающуюся поверхность такие две кривые линии, для которых каждая касательная плоскость к одной кривой линии касается другой кривой только в одной-единственной точке.

У косой линейчатой поверхности касательные плоскости в различных точках одной и той же образующей различны. В условиях перемещения точки касания вдоль образующей данная касательная плоскость вращается вокруг образующей.

Полный поворот этой касательной плоскости, когда точка касания проходит всю образующую будет равен 180°. На каждой образующей имеется такая точка, что для каждой из двух частей, на которые она делит образующую, полный поворот касательной плоскости равен 90°.

Точку О (рис. 2) принято называть центром образующей.

Рисунок 2.  Косая линейчатая поверхность

Таким образом, тангенс угла между выбранными касательными плоскостями к поверхности в центре О, или некоторой точке O' этой образующей пропорционален расстоянию OO'. Множитель пропорциональности, в данном случае, называется параметром распределения линейчатой поверхности.

Отсюда следует, что абсолютная величина полной кривизны линейчатой поверхности достигает на данной образующей наибольшего значения в центре образующей и, соответственно, убывает при удалении от центра по образующей.

Существующее геометрическое место центров таких образующих называется линией сжатия, или стрикционной линией.  В частности, у геликоида — линейчатой поверхности, описываемой равномерным винтовым движением прямой вокруг некоторой оси, которую движущаяся прямая пересекает под прямым углом, такой линией сжатия является ось  AB  (рис. 2).

Кроме того, такие линейчатые поверхности  второго порядка, как гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид, имеют две различные системы прямолинейных образующих. Две системы прямолинейных образующих имеют только линейчатые поверхности  второго порядка  [1, с. 32].

Известно, что параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. В определенном случае гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх.

Следует отметить, что однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В современном мире корпуса самолётов, морских судов, автомобилей,  надземных и подземных сооружений – это всё системы и комплексы сложно образованных поверхностей. Исследуемые линейчатые поверхности  находят свое применение и широко используются в технике, инженерии, при проектировании промышленных и государственных архитектурных зданий и сооружений,  а также дорожных магистралей.

Таким образом,  актуальность исследования и использования методов аппроксимации обусловлена востребованностью линейчатых развертываемых поверхностей, сочетающих в себе массу положительных качеств, в современной архитектуре, строительстве и технике.

1. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия, — М., 1974. — 176 с.2. Рыжов Н.Н. Аппроксимация сложных поверхностей развертывающимися плоскостями. — М.: Труды Всесоюзного Заочного Энергетического института, Начертательная геометрия, №13, 1958. — 95 с.

3. Фиников С. П. Теория поверхностей. — Л., Наука, 1934. — 205 с.

Источник: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/4790

Математические алгоритмы кроя развертывающихся элементов пространственных тонкостенных конструкций

1 Берестова С.А. 1 Беляева З.В. 1 Мисюра Н.Е. 1 Митюшов Е.А. 1 Рощева Т.А. 1 1 ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»
В работе рассмотрены задачи получения линий кроя на развертывающихся поверхностях.

Даются общие инвариантные алгоритмы построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки, в которые трансформируются пространственные кривые, принадлежащие развертываемым поверхностям, полная (гауссова) кривизна которых равна нулю: конической, цилиндрической и торсовой. Развертки формообразующих элементов поверхностей построены при решении геометрических задач в векторном и матричном виде.

Предложенные алгоритмы могут быть импортированы в существующие компьютерные математические и графические пакеты при создании соответствующих макросов. Сформулирована и доказана теорема об инвариантном методе поворота трехмерного евклидова пространства относительно оси произвольного направления и проходящей через произвольную точку пространства.

Получено дифференциальное уравнение, описывающее кинематику изгибания пространственной кривой при развертывании поверхности ее содержащей.
конические и торсовые поверхностиразворачивающиеся поверхности
1. Иванов В.Н. Конструкционные формы пространственных конструкций [Текст] / В.Н. Иванов, В.А. Романова. – М.: АСВ, 2016. – 416 с.
2. Кривошапко С.Н.

Торсовые поверхности и оболочки [Текст] / С.Н. Кривошапко. – М.: Изд-во УДН, 1991. – 287 с.
3. Математический энциклопедический словарь [Текст] / гл. ред. Ю.В. Прохоров; ред. кол. С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. – М.: Сов. Энциклопедия, 1988. – 847 с.: ил.
4. Попов Е.В.

Построение разверток поверхностей одинарной и двоякой кривизны [Текст] // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин. – Н. Новгород: НГАСУ, 2000. – Вып. 5. – С. 272–276.
5. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия [Текст] / М.М. Постников. – М.: Наука, 1979. – 312 с.
6. Шалимов В.Н.

, Шалимова К.В. Алгоритм построения карт раскроя тентовых тканевых конструкций // Сборник научных трудов SWorld. – Иваново: Научный мир, 2010. – Т. 27, № 1. – С. 37–40.
7. Azariadis P. Design of plane developments of doubly curved surfaces / P. Azariadis, N. Aspragathos // Computer-Aided Design. – 1997. – Т. 29, № 10. – P. 675–685.
8. Guoxin Yu, Partikalakis N.M., Maekawa T.

Optimal development of doubly curved surfaces // Computer Aided Geometrical Design. – 2000. – № 17. – P. 545–577.

Применение листовых материалов в машиностроении, судо- авиа- и ракетостроении, а также в строительном и швейном производстве связано с решением геометрических задач по построению формообразующих поверхностей [1] и разверток их элементов, что позволяет выполнять предварительно крой плоских заготовок с дальнейшим их изгибанием и стыковкой по линиям кроя. В большинстве случаев развертка элементов формообразующих поверхностей выполняется численными методами [4, 6–8]. Обзор некоторых частных аналитических и графических методов развертывания поверхностей можно найти в работе [2].

Линейчатыми называются поверхности, образуемые совокупностью прямых, зависящих от одного параметра [3]. Линейчатую поверхность можно получить движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Примерами линейчатых поверхностей, в частности, являются цилиндры и конусы. Линейчатые поверхности подразделяются на развертываемые и косые.

Известно также, что линейчатая поверхность тогда и только тогда является развертываемой, когда ее полная (гауссова) кривизна равна нулю [5]. Это эквивалентно условию

где L, M и N – коэффициенты второй дифференциальной формы поверхности.

Этому условию удовлетворяют следующие поверхности, которые представим в параметрической форме:

Здесь – радиус-вектор точек направляющей кривой, – единичный вектор образующей цилиндрической поверхности, – радиус-вектор вершины конуса, – единичный вектор касательной к направляющей кривой.

В данной работе рассмотрены общие алгоритмы построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки, в которые трансформируются кривые, принадлежащие перечисленным поверхностям.

Эти алгоритмы могут быть легко импортированы в существующие компьютерные математические и графические пакеты при создании соответствующих функций пользователя.

Получено также дифференциальное уравнение, описывающее кинематику изгибания пространственной кривой при развертывании поверхности ее содержащей.

Развертывание цилиндрических, конических и торсовых поверхностей

Пусть задана гладкая кривая , на цилиндрической поверхности таким образом, что один из векторов координатного базиса совпадает с вектором и скалярное произведение не меняет знак на всей области изменения параметра u. Для определенности положим . Найдем уравнение той кривой, в которую трансформируется кривая при развертывании цилиндрической поверхности. Введем в рассмотрение декартову плоскость развертки (ξ, η). Тогда одна из координат получаемой кривой определяется как проекция переменной длины заданной направляющей кривой на плоскость, перпендикулярную образующей цилиндрической поверхности, а другая совпадает с пространственной координатой z. То есть

• .
• Пусть задана гладкая кривая , на конической поверхности. Преобразованную кривую, получаемую в результате развертывания конической поверхности, в данном случае удобней искать в полярных координатах
• .
• При этом элементарный полярный угол dψ находим как отношение «приведенной» элементарной дуги к расстоянию R от произвольной точки кривой до вершины конической поверхности
• или
• .
• Уравнения искомой кривой на развертке конической поверхности в параметрической форме принимают вид
• ,
• .

Рассмотрим бирегулярную направляющую кривую , (), являющуюся ребром возврата для поверхности касательных (торсовой поверхности).

Найдем уравнения той кривой, которая получится из данной при развертывании поверхности касательных в плоскость.

При этом воспользуемся тем, что инвариантами данного преобразования являются длина кривой s(u) и ее кривизна κ(u). С учетом определений кривизн плоских и пространственных кривых находим

1. или
2. .
3. Введем в рассмотрение плоскость развертки (ξ, η), ось Oξ которой направим по касательной к направляющей кривой в ее начальной точке. Тогда уравнения искомой кривой на плоскости развертки в параметрической форме принимают вид
4. .
5. Кинематика изгибания пространственной кривой при развертывании поверхности ее содержащей
6. Рассмотрим общий кинематический алгоритм нахождения кривой, в которую преобразуется заданная кривая, лежащая на поверхности при развертывании последней.
7. Пусть задан кусок регулярной пространственной кривой , . Запишем общее уравнение линейчатой поверхности в виде
8. ,
9. где – единичный вектор образующей линейчатой поверхности.

Полагаем, что коэффициенты второй дифференциальной формы поверхности удовлетворяют условию , т.е. заданная линейчатая поверхность – развертываемая и .

Предварительно разобьем направляющую кривую на n частей и заменим ее линейной интерполяцией.

Представим алгоритм развертывания этой ломаной линии последовательностью поворотов вокруг осей, заданных единичными векторами , проходящих через точки разбиения , на углы между нормалями к образовавшимся граням (рис. 1).

• Предварительно докажем следующую теорему.
• Теорема. Преобразование поворота на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором и проходящей через точку M1, переводящее точку M в положение M’ представимо матричным равенством
• ,
• где – векторы-столбцы координат точек M, M’ и M1, L – кососимметрическая матрица, определяющая положение оси вращения
• .

Рис. 1. Схема развертывания линейной интерполяции кривой на разворачивающейся поверхности

Доказательство.

Введем в рассмотрение ось вращения, заданную единичным направляющим вектором и проходящую через произвольную фиксированную точку M1. Пусть M – положение произвольной точки пространства до вращения, а M’ – ее положение после вращения (рис. 2).

Рис. 2. Схема поворота точки вокруг оси

1. Рассмотрим точку C пересечения плоскости поворота и оси и представим вектор разложением по единичным векторам
2. .
3. С учетом равенства имеем
4. или
5. (1)
6. При этом
7. Здесь использована формула вычисления двойного векторного произведения
8. .
9. Тогда равенство (1) может быть переписано в виде
10. Этому векторному равенству соответствует следующая матричная форма записи
11. . (2)
12. Теорема доказана.
13. В случае малого поворота равенство (2) приобретает вид:
14. . (3)

Для получения алгоритма развертывания регулярной пространственной кривой вместе с содержащей ее поверхностью воспользуемся равенством (3). Для любой точки M(uk) разбиения заданной направляющей кривой можно перейти от векторного представления к матричному . Перемещения, которые происходят в результате соответствующих поворотов, с учетом равенства (3) описываются системой уравнений

(4)

где верхний индекс в записи вектора-столбца соответствует номеру шага процедуры развертывания.

Увеличивая количество точек разбиения, дискретное преобразование (4) опишем как непрерывный процесс. Для этого введем в рассмотрение вектор фиксированной точки M(u), (0 ≤ u ≤ u*) кривой , лежащей на развертываемой поверхности, в положении, соответствующем накопленным поворотам при перемещении оси вращения вдоль кривой и определяемым переменной t, (u ≤ t ≤ u*). Тогда

• ,
• , (5)
• при краевом условии
• .
• Отметим, что приращение dφ угла поворота нормали к заданной развертывающейся поверхности в произвольной точке направляющей кривой находится как проекция приращения единичного вектора нормали на касательную к линии кривизны и определяется равенством
• или
• .
• Дифференциальное уравнение (5) описывает движение произвольной точки M(u) кривой , лежащей на заданной развертываемой поверхности, в процессе развертывания последней.

Рис. 3. Схема разворачивания кривой

Проиллюстрируем алгоритм разворачивания кривой на наглядном примере окружности на цилиндре с образующей, параллельной оси Oz (рис. 3). Пусть окружность задана уравнением

1. .
2. В этом случае
3. и
4. .
5. Записывая уравнение (5) для плоского случая, получим
6. или
7. .
8. Решив полученную систему уравнений при краевых условиях
9. получим
10. Таким образом, уравнения кривой в промежуточном состоянии ее разворачивания, определяемого параметром t (0 ≤ t ≤ 2π), имеют вид
11. Заключение
12. С помощью предложенных в работе алгоритмов построены линии кроя, в которые трансформируются кривые, принадлежащие конической, цилиндрической и торсовой поверхности.

В работе получена формула инвариантного поворота трехмерного евклидова пространства относительно оси произвольного направления и проходящей через произвольную точку пространства.

Описана кинематика изгибания пространственной кривой при развертывании поверхности ее содержащей.

Предложенные методы и алгоритмы могут быть использованы при решении разнообразных задач создания пространственных конструкций в строительстве и промышленности, например при изготовлении натяжных тентовых и листовых пространственных конструкций.

Библиографическая ссылка

Берестова С.А., Беляева З.В., Мисюра Н.Е., Митюшов Е.А., Рощева Т.А. Математические алгоритмы кроя развертывающихся элементов пространственных тонкостенных конструкций // Фундаментальные исследования. – 2017. – № 6. – С. 26-30;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=41542 (дата обращения: 16.12.2019).

Источник: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=41542

ЛИНЕ́ЙЧАТАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ

ЛИНЕ́ЙЧАТАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, по­верх­ность, об­ра­зуе­мая со­во­куп­но­стью пря­мых, за­ви­ся­щих от од­но­го па­ра­мет­ра. Л. п. мож­но опи­сать дви­же­ни­ем пря­мой (об­ра­зую­щей) по не­ко­то­рой ли­нии (на­прав­ляю­щей). Л. п. раз­де­ля­ют­ся на раз­вёр­ты­ваю­щие­ся и ко­сые.

Раз­вёр­ты­ваю­щие­ся Л. п. мо­гут быть по­сред­ст­вом из­ги­ба­ния на­ло­же­ны на плос­кость. Лю­бая раз­вёр­ты­ваю­щая­ся по­верх­ность яв­ля­ет­ся ли­бо ци­лин­дром, ли­бо ко­ну­сом, ли­бо по­верх­но­стью, со­стоя­щей из ка­са­тель­ных к не­ко­то­рой про­стран­ст­вен­ной кри­вой $L$ (рис. 1).

Эту кри­вую на­зы­ва­ют реб­ром воз­вра­та раз­вёр­ты­ваю­щей­ся по­верх­но­сти. Плос­кость $P$, пе­ре­се­каю­щая реб­ро воз­вра­та $L$, об­ра­зу­ет в се­че­нии с по­верх­но­стью кри­вую $ABC$ с точ­кой воз­вра­та $B$.

Со­во­куп­ность всех ка­са­тель­ных плос­ко­стей раз­вёр­ты­ваю­щей­ся Л. п. пред­став­ля­ет со­бой од­но­пара­мет­рич. се­мей­ст­во. Ина­че го­во­ря, раз­вёр­ты­ваю­щая­ся Л. п. яв­ля­ет­ся оги­баю­щей од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­ва плос­ко­стей.

У ко­сой Л. п. ка­са­тель­ные плос­ко­сти в разл. точ­ках од­ной и той же об­ра­зую­щей раз­лич­ны. При пе­ре­ме­ще­нии точ­ки ка­са­ния вдоль об­ра­зую­щей ка­са­тель­ная плос­кость вра­ща­ет­ся во­круг об­ра­зую­щей. Пол­ный по­во­рот ка­са­тель­ной плос­ко­сти, ко­гда точ­ка ка­са­ния про­хо­дит всю об­ра­зую­щую, ра­вен 180°.

На ка­ж­дой об­ра­зую­щей име­ет­ся точ­ка та­кая, что для ка­ж­дой из двух час­тей, на ко­то­рые она де­лит об­ра­зую­щую, пол­ный по­во­рот ка­са­тель­ной плос­ко­сти ра­вен 90°. Эту точ­ку (на рис. 2 точ­ка $O$) на­зы­ва­ют цен­тром об­ра­зую­щей.

Тан­генс уг­ла ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми плос­ко­стя­ми к по­верх­но­сти в цен­тре $O$ и к.-л. дру­гой точ­ке $O'$ той же об­ра­зую­щей про­пор­цио­на­лен рас­стоя­нию $OO′$. Аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на га­ус­совой кри­виз­ны Л. п.

дос­ти­га­ет на дан­ной об­ра­зую­щей наи­боль­ше­го зна­че­ния в цен­тре об­ра­зую­щей и убы­ва­ет при уда­ле­нии от цен­тра по об­ра­зую­щей. Мно­же­ст­во цен­тров об­ра­зую­щих на­зы­ва­ет­ся ли­ни­ей сжа­тия или стрик­ци­он­ной ли­ни­ей. Напр., у ге­ли­кои­да (Л. п.

, опи­сы­вае­мой рав­но­мер­ным вин­то­вым дви­же­ни­ем пря­мой во­круг не­ко­то­рой оси, ко­то­рую дви­жу­щая­ся пря­мая пе­ре­се­ка­ет под пря­мым уг­лом) ли­ни­ей сжа­тия яв­ля­ет­ся ось ($AB$ на рис. 2). Л. п. 2-го по­ряд­ка – ги­пер­бо­лич. па­ра­бо­ло­ид, од­но­по­ло­ст­ной ги­пер­бо­ло­ид – име­ют две разл.

сис­те­мы пря­мо­ли­ней­ных об­ра­зую­щих (из од­но­по­ло­ст­ных ги­пер­бо­лои­дов скон­ст­руи­ро­ва­на ра­дио­мач­та сис­те­мы В. Г. Шу­хо­ва, на­хо­дя­щая­ся в Мо­ск­ве на Ша­бо­лов­ке). Две сис­те­мы пря­мо­ли­ней­ных об­ра­зую­щих име­ют толь­ко Л. п. 2-го по­ряд­ка.

Из­ги­бае­мые друг на дру­га Л. п. мож­но ка­тить од­ну по дру­гой так, что в про­цес­се ка­че­ния они бу­дут иметь об­щую об­ра­зую­щую. На этом ос­но­ва­но при­ме­не­ние Л. п. в тео­рии ме­ха­низ­мов.

Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/2146008

ПОИСК

В том случае, когда это условие выполняется для всех образующих, линейчатая поверхность — развертывающаяся (см. 47).
 [c.

131]

Если считать цилиндры / и 2 начальными, то винтовые линии Sj — si и 2 — Sa могут быть приняты за боковые линии зубьев.

Боковой поверхностью зубьев винтовых колес является линейчатая поверхность развертывающегося геликоида.
 [c.652]

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. Поверхности, образованные движением прямой линии в пространстве. Различают линейчатые поверхности развертывающиеся и косые. Первые из них могут быть наложены на плоскость без разрывов и складок, напр, цилиндрические и конические. Косые — геликоид, однополостный гиперболоид не могут быть совмещены с плоскостью.
 [c.56]

Линейчатые поверхности делят на две группы развертывающиеся — торсы и не-развертывающиеся (косые) поверхности.
 [c.184]

Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей /, касающейся во всех своих положениях цилиндрической винтовой линии т. являющейся ребром возврата геликоида (рис. 155). Развертывающийся геликоид, как линейчатая поверхность-, с ребром возврата, относится к числу торсов. ,
 [c.146]

Этот признак развертывающейся линейчатой поверхности устанавливается в курсе дифференциальной геометрии.
 [c.201]

Из дифференциальной геометрии известно, что к развертывающимся поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны, состоящие только из параболических точек.

Эти поверхности составляют подмножество линейчатых поверхностей, для которых касательная плоскость, построенная в какой-либо точке поверхности, касается ее во всех точках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку.

Иными словами, у развертывающихся (линейчатых) поверхностей касательные плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.
 [c.136]

Торсы обладают замечательным свойством — они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов, путем последовательных ее изгибов по прямолинейным образующим.

В связи с этим можно дать и другое определение поверхности торса. Торсом называют линейчатую поверхность, которую можно совместить всеми ее точками с плоскостью без складок и разрывов.

Такие поверхности называют также развертывающимися поверхностями.
 [c.106]

Эвольвентный геликоид называется также развертывающимся геликоидом., так как он, как и всякая линейчатая поверхность с ребром возврата, является развертывающейся поверхностью (см. стр. 223).
 [c.238]

Располагая на касательной плоскости пп (рис. 6.25, б) прямую ии под углом Ро к образующей цилиндра при обкатке, получим линейчатую винтовую эвольвентную поверхность, представляющую собой боковую поверхность косого зуба. Эта поверхность называется развертывающимся геликоидом.

Боковая поверхность эвольвентного зуба с винтовой начальной линией показана на рис. 6.25, б. Как видно, она представляет собой линейчатую поверхность с образующими, касающимися основного цилиндра. Начальные точки эвольвентной поверхности зубьев располагаются по винтовой линии КК на основном цилиндре.

 [c.240]

Развертывающаяся поверхность — линейчатая поверхность (стр. 298). Ребро возврата определяется уравнениями
 [c.297]

В ряде научных исследований предлагается та или иная классификация линейчатых поверхностей, которые включают в себя и класс развертывающихся поверхностей. Например, А. М. Тев-лин предложил классифицировать линейчатые поверхности в зависимости от значений кинематических параметров (1.25) [17].
 [c.69]

Из всех видов развертывающихся поверхностей наибольшие перспективы примеиения в судостроении имеют линейчатые поверхности с ребром возврата, поскольку форма и размещение опорных кромок не зависят от геометрических свойств этих поверхностей, а определяются исключительно требованиями конструкции, архитектуры, гидромеханики судна 24].
 [c.76]

Развертывающийся геликоид, образованный кинематическим методом (см, рис, 1.3), часто называют резной линейчатой поверхностью Монжа.

Параметрические уравнения этой поверхности [(1,141) содержат два независимых параметра и — угол между осью X и нормалью к плоскости, в которой лежит образующая прямая k (см. рис. 1.3) v — прямоугольная координата.

При применении обобщенных цилиндрических координат v, и, t уравнение резной линейчатой поверхности Монжа (развертывающегося геликоида) имеет вид (1.163). В этом случае соотношения (4.3) и (4.13) с учетом формул (1.141) дают для криволинейных координат и, t [61]
 [c.105]

В п. 1.1 даны теоремы 5, 9, 10, 13, 16, 19, имеющие отношение к теории изгибания развертывающихся поверхностей. Кроме указанных теорем приведем теоремы об изгибании линейчатой поверхности, доказанные в работе [220].
 [c.112]

Как отмечалось в п. 1.7, резная линейчатая поверхность Монжа представляет собой часть поверхности развертывающегося геликоида, ограниченную линиями кривизны.
 [c.213]

В некоторой степени вопросы теории развертывающихся поверхностей затрагиваются в статье [201], где рассматриваются линейчатые поверхности с постоянным параметром распределения. В частности даны торсы, образованные касательными к горловой линии.
 [c.258]

В работе [264] показывается, что единственными линейчатыми поверхностями вращения являются однополостный гиперболоид вращения, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус. Последние две поверхности — единственные развертывающиеся поверхности вращения.
 [c.261]

По виду образующей различают поверхности линейчатые и не-линейчатые. Образующей первых является прямая линия, а вторых — кривая. Линейчатые поверхности разделяют на так называемые развертывающиеся поверхности, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость, и не развертывающиеся.
 [c.140]

Если же все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, то касательная плоскость при движении точки касания вдоль образующей остается неподвижной (рис. 300).В том случае, когда это условие выполняется для всех образующих, линейчатая поверхность будет развертывающейся.
 [c.200]

На развертках развертывающихся поверхностей их геодезические линии развертываются в прямые. Примеры геодезических линий любая образующая линейчатой поверхности винтовая линия на цилиндрической поверхности вра щения параллели поверхности вращения и т. п. Для поверхностен их геодези ческие линии и.меют такое же значение, как и прямые уровня для плоскости
 [c.92]

Ц Понятие развертывающейся поверхности в статьях [197, 198] обобщается на многомерный случай. В евклидовом пространстве рассматривается поверхность Ф, образованная одно-пар аметрическям семейством -мерных плоскостей, имеющим по крайней мере одномерную огибающую.

Описаны некоторые свойства поверхностей Ф, построена индикатриса параметров распределения. Аналогичным вопросам посвящена работа [199]. Обзор результатов и библиография по теории обобщенных линейчатых поверхностей Ф приводятся в работе [200].
 [c.

258]

Ц Линейчатые поверхности, на которых ортогональные траектории прямолинейных образующих являются линиями откосов, изучаются в работе Г236].

Определяются все развертывающиеся и косые поверхности класса и соответственно С , на которых ортогональные траектории образующих совпадают с линиями откоса относительно некоторого направления а.

Единственными искомыми развертывающимися поверхностями являются С -поверх-ности касательных линий откоса относительно а и геодезических на торсах откоса относительно а.
 [c.259]

Развертывающейся называется такая линейчатая поверхность, которую можно без складок и разрывов развернуть на плоскость. Линейчатость поверхности — необходимый, но недостаточный признак развертываемости.
 [c.137]

Процесс образования боковой поверхности винтового зуба легко себе представить, если рассмотреть качение плоскости М по основному цилиндру с осью Oi- Взяв на катящейся по осцовному цилиндру плоскости прямую АВ, составляющую с образующей цилиндра угол 0 (рис. 9.

Эвольвенты каждого из поперечных сечений развертывающегося геликоида имеют основания, расположенные по винтовой линии D на основном цилиндре, полученной качением прямой АВ или, иначе, навертыванием прямоугольного треугольника ABE на основной цилиндр.

Исходя из процесса образования геликоида, можно заключить, что геликоид представляет собой линейчатую поверхность с образующими, касающимися основного цилиндра. Это приводит к тому, что линией пересечения геликоида и плоскости, касательной к основному цилиндру, будет прямая, составляющая угол Ро с образующей цилиндра.
 [c.263]

Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, относятся к неразвертываемым поверхностям.

Естественно, что к группе развертывающихся поверхностей могут быть отнесены только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имеют пересекающиеся смежные образующие.

Точка пересечения может быть как собственной (поверхности с ребром возврата и конические), так и несобственной (поверхности цилиндрические).
 [c.190]

Линейчатые поверхности в свою очередь делятся на развертывающиеся и неразвертывающиеся. Представим себе поверхность как гибкую, но нера-
 [c.190]

Источник: https://mash-xxl.info/info/28328/