Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:
Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

  • Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
    Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.
  • В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.
  • Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:
  1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
  2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где Iρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:
Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax:
Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
Здесь:

— полярный момент сопротивления.

Геометрические характеристики сечений:

а) для полого вала:
Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
б) для вала сплошного сечения (c=0)Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
в) для тонкостенной трубы (t

Источник: https://isopromat.ru/sopromat/teoria/kruchenie

Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

  • Иметь представление о напряжении и деформациях при кру­чении, о моменте сопротивления при кручении.
  • Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
  • Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, об­разовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а).

Поперечные окружности, оставаясь плоскими, по­ворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипоте­зы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Закон Гука при сдвиге

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула, Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лек­цию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где ρ— расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (инте­грированием) элементарных моментов:

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

После преобразования получим формулу для определения на­пряжений в точке поперечного сечения:

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения.

Полученный интеграл Jv (лекция 25) называется полярным мо­ментом инерции сечения. Jv является геометрической характеристи­кой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сече­ния скручиванию.

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула, Анализ полученной формулы для Jv показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

  1. Мк — крутящий момент в сече­нии;
  2. рв — расстояние от точки В до центра;
  3. тв — напряжение в точке В]
  4. ттах — максимальное напряже­ние.
  5. Максимальные напряжения при кручении
  6. Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.
  7. Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρтах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

  • Обычно JP/pmax обозначают Wp и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
  • Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
  • Для круглого сечения
  • Для кольцевого сечения
  • Условие прочности при кручении
  • Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
  • где [τк] — допускаемое напряжение кручения.
  • Виды расчетов на прочность
  • Существует два вида расчета на прочность.
  • 1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
  • Откуда
  • 2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
  • 3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
  • Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

  1. При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):
  2. Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда
  3. Закон Гука имеет вид τк = . Подставим выражение для γ, получим
  4. Откуда
  5. Произведение GJP называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 105 МПа.

  • Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φo.
  • Условие жесткости при кручении можно записать в виде
  • где φo — относительный угол закручивания, φо = φ/l; [φо] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.
  • Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

  1. Условие прочности при кручении:
  2. Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
  3. Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
  4. Значения подставляем в ньютонах и мм.
  5. Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

  • Условие жесткости при кручении:
  • Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
  • Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,

  1. откуда

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,

  • Откуда

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

  1. Решение
  2. Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
  3. В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-106 Н• мм,
  4. Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

  • Решение
  • Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
  • тогда
  • В данном случае
  • Подставляя числовые значения, получаем
  • Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

  1. Пользуясь соотношением
  2. строим эпюру крутящих моментов.
  3. Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
  4. для участков III и IV
  5. для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τшах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

  • на участке II
  • на участке III
  • на участке IV
  • на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в.

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Читайте также:  Вальцовочные станки для гибки листового металла: видео, чертежи, гост

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φл = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г.

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.

39, а) передается от двигателя мощность NB = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт.

Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τKJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2, d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.

  1. Решение
  2. Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
  3. где

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий NА, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

  • что меньше [тк] на
  • Относительный угол закручивания участка АВ
  • что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
  • Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
  • что меньше [тк] на
  • Относительный угол закручивания участка ВС
  • что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
  • Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим ма­шинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.

40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [τKJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм.

Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б изобра­жен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты m, m1, т2, т3:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, по­ложительными, а N — отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент Nx1 max = 354,5 H*м.

  1. Диаметр вала 1 из условия прочности
  2. Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
  3. Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d1 = 58 мм.
  4. Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6.

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max» = 470 H-м.

  • Диаметр вала 2 из условия прочности
  • Диаметр вала 2 из условия жесткости
  • Окончательно принимаем d2=62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2, n = 600 об/мин.

  1. Решение
  2. Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
  3. где

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, в пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент Mz = 9,54N. Условие прочности

  • откуда
  • Условие жесткости
  • откуда

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник: https://zdamsam.ru/a21434.html

Деформация кручения — напряжение, определение, примеры, формула,

Главная / Технологии /  

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

  • Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
  • Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.
  • В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.
  • Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:
  1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
  2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 3).

Рис. 3.

Деформация сдвига возникает под действием сил, приложенных к двум противоположным граням тела так, как показано на рисунках 3; 4. Эти силы вызывают смещение слоев тела, параллельных направлению сил. Расстояние между слоями не изменяется. Любой прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, превращается в наклонный.

Рис. 4.

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ — угол наклона вертикальных граней (рис. 5).

Рис. 5.

Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС, закреплена неподвижно.

Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

где СС1 = D X — абсолютный сдвиг, γ — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению τ = F/S, где S — площадь поверхности грани ВС, т.е.

  1. τ = F / S = Gg
  2. где G — модуль сдвига.
  3. Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой:

Коэффициент G, зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига. Например, для стального образца G = 76 ГПа.

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется).

Деформацию сдвига испытывают, например, заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции. Сдвиг при больших углах приводит к разрушению тела — срезу. Срез происходит при работе ножниц, пилы и др.

Обратите внимание на принципиальное отличие модуля кручения от модуля сдвига, который зависит только от материала. Модуль кручения зависит не только от материала, но ещё и от диаметра и от длины цилиндра.

Дата добавления: 2015-04-01; 8147; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Это интересно: Деформация изгиба — определение, формула, примеры

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения. Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где Iρ — полярный момент инерции. Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид: Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула, Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax: Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула, Здесь: — полярный момент сопротивления. Геометрические характеристики сечений: а) для полого вала:

  • — радиус срединной поверхности трубы.

б) для вала сплошного сечения (c=0) в) для тонкостенной трубы (t0,9) где

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение, называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

  1. ,
  2. где r — расстояние от оси кручения.
  3. Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при и при максимальном крутящем моменте , то есть
  4. ,
  5. где Wp — полярный момент сопротивления.
  6. Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:
  7. .
  8. Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.
Поделитесь в соц.сетях:

Источник: https://intehstroy-spb.ru/tehnologii/kruchenie-deformaciya.html

Деформация, все формулы и примеры

Деформация появляется в том случае, если разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому появляются силы упругости.

Виды деформации твердого тела

Деформации можно разделить на упругие и неупругие. Упругой называют деформацию, которая исчезает при прекращении действия деформирующего воздействия. При таком виде деформации происходит возврат частиц из новых положений равновесия в кристаллической решетке в старые.

Читайте также:  Реброво-горбыльные станки: видео, фото, назначение

Неупругие деформации твердого тела называют пластическими. При пластической деформации происходит необратимая перестройка кристаллической решетки.

Кроме этого выделяют следующие виды деформации: растяжение (сжатие); сдвиг, кручение.

Одностороннее растяжение заключается в увеличении длины тела, при воздействии силы растяжения. Мерой такого вида деформации служит величина относительного удлинения ().

Деформация всестороннего растяжения (сжатия) проявляется в изменении (увеличении или уменьшении) объема тела. При этом форма тела не изменяется. Растягивающие (сжимающие) силы равномерно распределяются по всей поверхности тела. Характеристикой, такого вида деформации, является относительное изменение объема тела ().

Сдвиг – это вид деформации, при которой плоские слои твердого тела смещены параллельно друг другу. При этом виде деформации слои не изменяют свою форму и размер. Мерой данной деформации служит угол сдвига.

Деформация кручения состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, перпендикулярных оси образца.

В теории упругости доказано, что все виды упругой деформации могут сводиться к деформациям растяжения или сжатия, которые происходят в один момент времени.

Закон Гука

Рассмотрим однородный стержень, имеющий длину l и площадь сечения S. К концам стержня приложены две силы равные по величине F, направленные по оси стержня, но в противоположные стороны. При этом длина стержня изменилась на величину .

  • Английским ученым Р. Гуком эмпирически было установлено, что для небольших деформаций относительное удлинение () прямо пропорционально напряжению ():
  •     Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
  • где E – модуль Юнга; – сила, которая действует на единичную площадь поперечного сечения проводника. Иначе закон Гука записывают как:
  •     Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,
  • где k – коэффициент упругости. Для силы упругости, возникающей в стержне закон Гука имеет вид:
  •     Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Линейная зависимость между и выполняется в узких пределах, при небольших нагрузках. При увеличении нагрузки зависимость становится нелинейной, а далее упругая деформация переходит в пластическую деформацию.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/deformaciya/

28.Напряжения при кручении (вывод формулы)

В
поперечном сечении бруса возникают
только касательные напряжения от
крутящего момента, определяемые по
формуле (6.1). Их направление в каждой
точке перпендикулярно радиусу,
соединяющему эту точку с центром сечения
(рис. 6.1). В центре (при ρ = 0)
касательные напряжения равны нулю; в
точках же, расположенных в непосредственной
близости от внешней поверхности бруса,
они наибольшие.

где
– крутящий момент в рассматриваемом
сечении;– полярный момент инерции круглого
поперечного сечения;К
– расстояние от центра тяжести сечения
до рассматриваемой точки К (рис. 6.1).

Рис.
6.1

Наибольшие
касательные напряжения в поперечных
сечениях определяются по формуле:

Введем
следующее обозначение:

где

называется полярным моментом сопротивления
поперечного сечения (см3,
м3);

BjRH/img-yKHVE6.png» width=»37″>– расстояние от центра тяжести до
наиболее удаленной точки сечения, оно
равняется радиусу круга

png» width=»77″>

Условие
прочности при кручении

запишется:

где
RS
– расчетное сопротивление материала
при сдвиге.

29.Определение перемещений при кручении

30.Практические расчёты на кручение

  • Условие
    прочности бруса при кручении заключается
    в том, что наибольшее касательное
    напряжение, возникающее в нем, не должно
    превышать предельно допустимое. При
    этом расчетная формула на прочность
    имеет вид:
  • τmax
    = Мкр / Wr ≤ [τкр],
  • где
    [τкр] — предельное допускаемое напряжение.
  • При
    практических расчетах, определяя
    предельные допускаемые напряжения для
    различных материалов, используют
    зависимость между напряжениями при
    растяжении и напряжениями при кручении,
    которая для стали и чугуна имеет вид:

для
стали — [τкр] = 0,55….0,6 [σр]

для
чугуна — [τкр] = 1,0….1,2 [σр])

(здесь
[σр] — справочная или определяемая
экспериментально величина, (предельное
допустимое напряжение растяжения)
характеризующая материал бруса (вала).

Кроме
требования прочности к валам предъявляются
требования жесткости, которое заключается
в том, что угол закручивания участка
вала длиной 1 м не должен превышать
предельной величины, определяемой
требованиями конструкции. Допускаемый
угол закручивания 1 м длины вала задается
в градусах и обозначается [φ0°].

Расчетная
формула на жесткость при кручении имеет
вид:

φ0°=
180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]

В
реальных механизмах обычно допускаются
углы закручивания валов в пределах
[φ0°]
= 0,25…1 градус/м.

31.Изгиб. Внутренние усилия при изгибе. Разновидности изгиба. Виды балок

Под
изгибом понимается такой вид нагружения,
при котором в поперечных сечениях бруса
возникают изгибающие моменты Mx
или
M.
Если изгибающий момент в сечении является
единст­венным силовым фактором, то
изгиб называется чистым
(рис. 5.1, а).

Рис. 5.1

В
тех случаях, когда в поперечных сечениях
бруса наряду с изгибающим моментом
возникают и поперечные силы изгиб
назы­вается поперечным.
Брус, работающий в основном на изгиб,
часто называют балкой.

В дальнейшем будем рассматривать такие
случаи изгиба балки, при которых,
вопервых,
поперечное сечение балки имеет хотя бы
одну ось симметрии, и, вовторых,
вся нагруз­ка лежит в плоскости,
совпадающей с осью симметрии балки.

Та­ким образом, одна из главных осей
инерции лежит в плоскости изгиба, а
другая перпендикулярна ей.

Для
того, чтобы правильно ориентироваться
в вопросах, связан­ных с расчетом
бруса на изгиб, необходимо прежде всего
научиться определять законы изменения
внутренних силовых факторов, т.е.
научиться строить эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил.

Предварительно
рассмотрим три основных типа опорных
связей балки с основанием:

1. Шарнирноподвижная
опора (рис. 5.1, б  левая
опора бал­ки), ограничивающая лишь
вертикальное перемещение опорного
узла.

2. Шарнирнонеподвижная
опора (рис. 5.1, б  правая
опора балки), ограничивающая вертикальное
и горизонтальное перемеще­ния опоры.

3. Жесткая
заделка (рис. 5.1, а  опора
балки на левом краю), не допускающая
поворота и перемещений по вертикали и
горизон­тали сечения балки, примыкающего
к опоре.

По
запрещенным направлениям во всех этих
типах опор воз­никают соответствующие
реакции.

Закрепленные
опорами балки имеют следующие названия:

а)
однопролетная или двухопорная (рис.
1.9);

б)
консоль (рис.1.10);

в) консольная балка (рис. 1.11)

Рис. 1.9 Рис. 1.10 Рис.1.11

Источник: https://studfile.net/preview/4293303/page:11/

Кручение (деформация) — это… Что такое Кручение (деформация)?

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Деформация стержня прямоугольного сечения при кручении

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

где:

 — геометрический полярный момент инерции;
 — длина стержня;
G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

,

где r — расстояние от оси кручения.

Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при и при максимальном крутящем моменте , то есть

,

где Wp — полярный момент сопротивления.

Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:

.

Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/136198

Напряжения и деформации при кручении валов. Расчеты на прочность и жесткость

Если на поверхность вала круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 5.4), что:

1) прямоугольная сетка превратилась в параллелограммную, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях;

2) расстояние между поперечными сечениями, например между I и II, нс изменяется. Нс изменяются длина стержня и его диаметр, т.е. каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений).

Из нагруженного тела выделим элемент, ограниченный двумя смежными сечениями I и II радиусом р в виде диска толщиной dz (рис. 5.5).

  • У поверхности элемента рассмотрим элементарный прямоугольник abed.
  • В результате действия внешнего момента Т выделенный элементарный прямоугольник испытывает деформацию сдвига, при этом будет аа — аа
  • абсолютный сдвиг и-= tgy = у — относительный сдвиг (угол сдвига).
  • dz

Из рис. 5.5 следует, что аа — рс/ф = у ? dz, тогда

где с/ф — угол закручивания; dz — длина элемента.

Рис. 5.4. Деформация стержня круглого сечения: й-до нагружения; б — после нагружения

Рис. 5.5. Выделенный элемент в виде диска

В соответствии с законом Гука при сдвиге можно записать

Из выражения (5.2) следует, что касательные напряжения по сечению изменяются линейно от нуля в центре сечения до максимальных у поверхности бруса (рис. 5.6).

Подставив в выражение (5.1) значение X из (5.2), получим Имея в виду, что

Рис. 5.6. Распределение касательных напряжений по сечению

  1. с/ф
  2. Подставив значение- в формулу (5.2), имеем
  3. dz
Читайте также:  Плазменное напыление металла: оборудование, фото, видео

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения X одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения определяются по формуле

  • /„
  • гДе Ртах =r> Wp=~- Г
  • Геомстрическая характеристика Wpназывается полярным моментом сопротивления, или моментом сопротивления при кручении.
  • Для круглого сплошного сечения

Для кольцевого сечения где с = d / D.

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

Здесь Tadm — допускаемое касательное напряжение, равное

Полный угол поворота ф одного сечения относительно другого, отстоящего от него на расстоянии /, получим, интегрируя выражение , Tdz

шр = в пределах от 0 до ф и от 0 до /:

Произведение GIр называется жесткостью бруса при кручении.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания. Он равен

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

Проверка прочности и жесткости валов при кручении производится по формулам (5.3) и (5.4).

Кроме проверки прочности по формуле (5.3), для круглого сечения можно определить диаметр вала

или допускаемый крутящий момент 7^dm = Wp'ZdLdm.

Из условия жесткости диаметр вала сплошного круглого сечения

Источник: https://studref.com/516823/tehnika/napryazheniya_deformatsii_kruchenii_valov_raschety_prochnost_zhestkost

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения (Лекция №22)

   Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят.

С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

   Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

   Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

  1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

  2. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

  3. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения.

Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5).

При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

(1)

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

а) ортогональность и

Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

   Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

(2)
  • Подставляя (1) в (2) и учитывая, что
  • где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем
(3)

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна

Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

   Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

(4)

   Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

  1. Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz
  2. найдем полный угол закручивания стержня длиной l
(5)
  • В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем
  • когда эти величины кусочно-постоянны, то:
(6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

  1. где — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления
  2. .
  3.    Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид
(7)

где — допускаемое напряжение на кручение.

   Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

  • где , а момент сопротивления определяется по формуле

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния.

На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней.

Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a).

Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

  1.    Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна
  2. Отсюда
  3. кНм,
  4. где учтено, что .

   Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

   Определение диаметра вала из условия прочности.

Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

  • Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства
  • ,
  • откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения
(8)

   Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

(9)

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

(10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

Дальше…

Источник: https://toehelp.ru/theory/sopromat/22.html

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector